Теоретические материалы к теме: НИСО. Силы давления и реакции. Гравитационные силы.

Согласно принципу относительности Галилея законы механики во всех системах отсчёта имеют один и тот же вид. Это означает, что при переходе от одной системы отсчёта к другой, движущейся относительно первой, законы механики будут описываться уравнениями, имеющими одинаковую структуру. В движущихся системах отсчёта по-прежнему выполняются все законы Ньютона.

Закон сложения скоростей говорит о том, что скорость точки относительно неподвижной системы отсчёта (абсолютная скорость) равна сумме скорости точки относительно подвижной системы отсчёта (относительная скорость) и скорости самой подвижной системы отсчёта относительно неподвижной (переносная скорость)

Аналогично формулируется и закон сложения ускорений

Неинерциальные системы отсчёта (НИСО) – системы отсчёта, которые движутся с ускорением относительно инерциальных систем отсчёта. Как и в инерциальных системах отсчёта, в неинерциальных системах отсчёта выполняется второй закон Ньютона, а уравнение движения имеет вид

,

только помимо привычных для нас сил в уравнении движения в сумму сил входят также и силы инерции. Силы инерции – силы нематериальной природы, обусловленные ускоренным движением неинерциальных систем отсчёта. Не зависимо от вида силы инерции, её всегда можно найти из уравнения

где апер – ускорение неинерциальной системы отсчёта. В частности для центробежной силы, возникающей только при вращательном движении неинерциальной системы отсчёта, справедливо выражение

где r – радиус вращения точки, на которую действует данная центробежная сила. Знак «минус» означает, что эта силы направлена от центра вращения. Поступательная сила инерции возникает в случаях, когда неинерциальная система отсчёта движется прямолинейно (нет вращательного движения системы отсчёта) с некоторым ускорением относительно неподвижной системы отсчёта.

Так как силы инерции имеют нематериальную природу, они не имеют противодействия из III закона Ньютона. Помимо поступательной силы инерции и центробежной силы существует ещё один вид сил инерции – сила Кориолиса. Она возникает при движении тела в околоземном пространстве и обусловлена суточным вращением Земли вокруг своей оси. Эта сила отлична от нуля, если тело движется вдоль меридиана (или имеет ненулевую проекцию скорости на направление меридиана).

При рассмотрении динамики систем со связями всегда имеют место контактные силы, т.е. силы, возникающие при непосредственном телесном контакте взаимодействующих тел. Все эти силы имеют электромагнитную природу. В зависимости от ситуации такими силами являются сила натяжения нити, сила упругости деформированного тела, сила давления, сила реакции опоры (шарнира или подвеса). Более частными случаями сил давления, упругости или натяжения является рассмотренный ранее вес тела, т.е. сила, с которой тело давит на горизонтальную опору или растягивает вертикальный подвес. Силу реакции опоры в свою очередь можно разложить на две взаимно перпендикулярные компоненты – силу нормальной реакции и силу трения (касательную реакцию). Из названия следует, что нормальная реакция перпендикулярна поверхности контакта, а сила трения направлена по касательной к поверхности контакта.

На предыдущих темах мы преимущественно рассматривали силы электромагнитной природы, но в макромире и космических масштабах немалую роль играет также гравитационное взаимодействие. Единственный закон, описывающий само это взаимодействие, – это закон всемирного тяготения. Согласно этому закону силы гравитационного притяжения тел прямо пропорциональны произведению масс этих тел и обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними

где  – гравитационная постоянная. В таком виде закон применим только для тел точечных или имеющих шарообразную форму. По сути, каждое тело, имеющее массу, является источником гравитационного поля. Заметный вклад во взаимодействие вносят только массивные тела, гравитационное поле которых достаточно большое. Если мы рассматриваем одно тело в пространстве около какого-то другого массивного тела (планеты или спутника), то для упрощения применения закона всемирного тяготения вводят понятие ускорения свободного падения, равного

,

где М – масса планеты или спутника, R – радиус это планеты или спутника, h – высота тела над поверхностью планеты или спутника. Ускорение свободного падения – это силовая характеристика гравитационного поля и является векторной величиной. Сила взаимодействия тела с планетой (спутником) при этом равна

и называется силой тяжести.

            Как было рассмотрено на предыдущих семинарах, любое тело испытывает действии силы тяжести, результатом которой в ряде случаев является падение тела на поверхность Земли (или другой рассматриваемой планеты). Чтобы некоторому телу преодолеть притяжение массивного тела и удалиться на большое расстояние, необходимо сообщить ему достаточно большую скорость. Первая космическая скорость – минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу у поверхности планеты, чтобы оно стало её искусственным спутником. Вторая космическая скорость – минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу у поверхности планеты, чтобы оно могло покинуть поле её притяжения и стало искусственным спутником Солнца. Третья космическая скорость – минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу у поверхности планеты, чтобы оно могло преодолеть поле притяжения Солнца и покинуть Солнечную систему. Четвёртая космическая скорость – минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу у поверхности планеты, чтобы оно могло достигнуть поверхности Солнца.

            Движение небесных тел также обусловлено силами тяготения и описывается законами Кеплера. Первый закон Кеплера: каждая планета движется по орбите, представляющей собою эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце. Второй закон Кеплера: за равные промежутки времени радиус-вектор планеты описывает равные площади. Третий закон Кеплера: квадраты периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит

Большой полуосью эллипса называется максимальное расстояние от точки эллипса до его центра (точки пересечения большой и малой осей). Законы Кеплера были открыты ещё до того, как Ньютон создал свою модель механики. Сам Кеплер сформулировал третий закон для двух планет, вращающихся вокруг Солнца. Ньютон обобщил третий закон Кеплера и на случаи движения и спутников вокруг планет

где М1 и М2 – массы центров тяготения, а m1 и m2 – массы вращающихся вокруг них тел.

            Ранее также рассматривалось понятие веса тела, для которого было получено выражение в общем случае

где а – ускорение, с которым движется тело в вертикальном направлении. При движении тел в поле тяжести возможны случаи, когда возникают перегрузки или невесомость. Перегрузкой называется состояние тела, в котором его вес больше силы тяжести. При этом отношение веса к силе тяжести

называется коэффициентом перегрузки. Из приведенной выше формулы следует, что состояние перегрузки возможно только в том случае, если тело имеет ускорение, направленное вертикально вверх. Невесомостью называется состояние, в котором вектор ускорения тела равен ускорению свободного падения . В этом случае вес тела оказывается равным 0.

 

 Примеры решения задач

 

Задача 1. (НИСО)

На одном конце верёвки, переброшенной через невесомый блок, находится груз массой т, на другом – обезьяна массой 3т. Обезьяна поднимается вверх по верёвке с ускорением аотн относительно верёвки. Найдите её ускорение аабс в неподвижной системе отсчёта, связанной с Землёй.

Данот1 = т, т2 = 3т, аотн.

Найтиаабс – ?

Решение.

            Из преобразований Галлея для скоростей можно получить преобразования Галилея для ускорений

Запишем уравнение движения для груза

Уравнение движения обезьяны в системе отсчёта, связанной с движущейся верёвкой,

 или

В проекциях на ось координат эти уравнения принимают вид (с учётом преобразований Галилея)

Роль переносного ускорения играет ускорение верёвки и груза, т.е. . Тогда система приобретает вид

откуда ускорение груза и нити

Подставляя полученное выражение для переносного ускорения во второе уравнение системы, получаем

.

Ответ:            .

 

Задача 2. (Силы давления и реакции). 

На горизонтальном столе лежит брусок массой т1 = 2 кг, на котором помещён второй брусок массой т2 = 1 кг. Оба бруска соединены невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через блок, ось которого неподвижна. Какую силу F надо приложить к верхнему бруску в горизонтальном направлении, чтобы он начал двигаться с ускорением а = 4,9 м/с2. Коэффициент трения между брусками m = 0,5. Трением нижнего бруска о стол, трением в блоке и его массой пренебречь.

Даноm1 = 2 кг, m2 = 1 кг, a = 4,9 м/с2, Fтр1 = 0, μ2 = 0,5.

НайтиF – ?

Решение.

Построим рисунок, на котором укажем все силы, действующие на каждый из брусков, ускорения брусков и оси координат X и Y. На каждый брусок действуют силы тяжести m1g и m2g и силы натяжения нити T1 и Т2, на нижний брусок действует сила нормальной реакции со стороны стола N1, а на верхний брусок действует сила нормальной реакции со стороны нижнего бруска N2. На нижний брусок действует также вес верхнего бруска P. Если бруски движутся, то между ними действуют силы трения скольжения Fтр1 и Fтр2.

Запишем уравнения движения брусков

законы, описывающие индивидуальные свойства сил (в данном случае выражение для силы трения скольжения)

выражения для третьего закона Ньютона

        .

Т.к. нить нерастяжима, то уравнение кинематической связи для ускорений имеет вид

.

Т.к. нить невесома и нерастяжима, блок невесом и без трения в оси, сопротивление воздуха отсутствует, то для сил натяжения нитей справедливо равенство

.

Объединяя эти уравнения в систему, и проецируя на оси координат, получаем

Решим полученную систему

складывая уравнения, получаем

откуда выразим искомую силу F

Подставляя числовые данные, получаем

Ответ:       

 

Задача 3. (Гравитационные силы).

Чему равна первая космическая скорость на планете со средней плотностью ρ? Планета имеет форму шара радиусом R.

Дано:  ρ.

Найти: υI – ?

Решение.

            По определению первой космической скорости – это минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу у поверхности планеты, чтобы оно стало её искусственным спутником. При этом траекторией движения тела будет круговая орбита с центром в центре тяготения (центре масс планеты). С ростом скорости орбита будет постепенно вытягиваться в эллипс, а при второй космической скорости тело сможет преодолеть поле притяжения планеты и покинуть его. При движении тела вокруг планеты на него действует единственная сила – сила гравитационного притяжения к планете. Уравнение движения для спутника

При движении по круговой орбите ускорение тела является центростремительным, поэтому

Поскольку для первой космической скорости мы рассматриваем ситуацию у поверхности планеты, то высотой над поверхностью планеты по сравнению с радиусом планеты можем пренебречь

Массу планеты найдём, зная её плотность и объём

Окончательно для первой космической скорости получаем

Ответ:           

 

 

 

 

 

 

Последнее изменение: Monday, 14 September 2015, 16:49